Нарисуем систему координат и начертим окружность с радиусом, равным 1 и центром в начале координат.
В первой четверти проведем радиус OA. Из точки A опустим перпендикуляр AB на ось x.
Угол AOB между радиусом OA и положительным направлением оси x обозначим за α.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:
OB, AB – катеты, AO – гипотенуза.
AO = 1 (радиус), ∠AOB = α, ∠ABO = 90°.
Найдем координаты точки A.
Координата точки A по оси x равна длине катета OB, по оси y – длине катета OB. Найдем длины этих катетов:
cos α = OB / AO = OB / 1 = OB;
sin α = AB / AO = AB / 1 = AB.
Следовательно,
OB = cos α,
AB = sin α.
Значит, координата точки A по оси x равна cos α, по оси y – sin α.
Таким образом, мы установили связь между координатами точки на окружности и значением синуса и косинуса произвольного угла.