Линейное неоднородное диферренциальное уравнение (ЛНДУ) 1-го порядка:
Линейное однородное диферренциальное уравнение (ЛОДУ) 1-го порядка:
Метод вариации произвольной постоянной
Для того, чтобы решить ЛНДУ, нужно сначала решить соответствующее ему ЛОДУ и получить решение вида:
Далее нужно варьировать постоянную C, то есть, считаем C функцией аргумента x, а не константой:
Затем нужно подставить y и y′ в исходное ЛНДУ.
Далее разберем этот материал на примерах.
Пример 1.
Решим ЛНДУ 1-го порядка.
Запишем соответствующее ему ЛОДУ. Оно представляет собой уравнение с разделяющимися переменными.
Таким образом, мы получили решение ЛОДУ. Теперь варьируем константу C:
Подставляем y и y′ в исходное линейное неоднородное ДУ:
Получаем решение ЛНДУ:
Пример 2.
Решим ЛНДУ 1-го порядка.
Запишем соответствующее ему ЛОДУ. Оно представляет собой уравнение с разделяющимися переменными.
Таким образом, мы получили решение ЛОДУ. Теперь варьируем константу C:
Подставляем y и y′ в исходное линейное неоднородное ДУ:
Проинтегрируем правую часть по частям:
Получаем решение ЛНДУ:
Замена y = u * v
Рассмотрим еще один способ решения ЛНДУ.
Пример 3.
Решим ЛНДУ 1-го порядка.
Сделаем замену.
Подставим y и y′ в исходное уравнение.
Найдем такую функцию v, чтобы множитель при u обратился в 0.
Возьмем частное решение при C = 1.
Подставим его в уравнение для u и v.
Проинтегрируем правую часть уравнения по частям:
Получаем:
Примеры для самостоятельного решения.
Метки: Дифференциальные уравнения; Дифференциальные уравнения 1 порядка; ЛНДУ 1-го порядка; ЛОДУ 1-го порядка;