Главная страница Статьи

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Линейное неоднородное диферренциальное уравнение (ЛНДУ) 1-го порядка:


Линейное однородное диферренциальное уравнение (ЛОДУ) 1-го порядка:


Метод вариации произвольной постоянной
Для того, чтобы решить ЛНДУ, нужно сначала решить соответствующее ему ЛОДУ и получить решение вида:


Далее нужно варьировать постоянную C, то есть, считаем C функцией аргумента x, а не константой:


Затем нужно подставить y и y′ в исходное ЛНДУ.
Далее разберем этот материал на примерах.

Пример 1.
Решим ЛНДУ 1-го порядка.


Запишем соответствующее ему ЛОДУ. Оно представляет собой уравнение с разделяющимися переменными.


Таким образом, мы получили решение ЛОДУ. Теперь варьируем константу C:


Подставляем y и y′ в исходное линейное неоднородное ДУ:


Получаем решение ЛНДУ:


Пример 2.
Решим ЛНДУ 1-го порядка.


Запишем соответствующее ему ЛОДУ. Оно представляет собой уравнение с разделяющимися переменными.


Таким образом, мы получили решение ЛОДУ. Теперь варьируем константу C:


Подставляем y и y′ в исходное линейное неоднородное ДУ:


Проинтегрируем правую часть по частям:


Получаем решение ЛНДУ:


Замена y = u * v
Рассмотрим еще один способ решения ЛНДУ.

Пример 3.
Решим ЛНДУ 1-го порядка.


Сделаем замену.


Подставим y и y′ в исходное уравнение.


Найдем такую функцию v, чтобы множитель при u обратился в 0.


Возьмем частное решение при C = 1.


Подставим его в уравнение для u и v.


Проинтегрируем правую часть уравнения по частям:


Получаем:



Примеры для самостоятельного решения.

Метки: Дифференциальные уравнения; Дифференциальные уравнения 1 порядка; ЛНДУ 1-го порядка; ЛОДУ 1-го порядка;

Политика конфидециальности

Пользовательское соглашение