Главная страница • Статьи

1. Что такое криволинейные интегралы первого и второго рода

Пусть на плоскости XoY расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных z = f(x, y) определена во всех точках этого отрезка.



Разделим кривую на части точками А₁ (x₁, y₁), ... , А_n (x_n, y_n). В каждой части А_i А_i+1 выберем произвольную точку M_i.

Рассмотрим два вида сумм:
1. Для криволинейного интеграла 1-го рода.
f(M₁) • А₁ А₂ + ... + f(M_n-1) • А_n-1 А_n - значения функции в выбранных точках умножаем на длины отрезков кривой.

2. Для криволинейного интеграла 2-го рода.
f(M₁) • x₁ x₂ + ... + f(M_n-1) • x_n-1 x_n - значения функции в выбранных точках умножаем на длины проекций на ось (в данном случае - ось x)

Ищем пределы данных сумм, устремляя величину наибольшего отрезка А_i А_i+1 к 0. Если такой предел существует, он и будет значением криволинейного интеграла.

Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB.

Криволинейный интеграл первого рода:


Криволинейный интеграл второго рода:


Часто на практике используют объединение криволинейных интегралов второго рода.
Общий криволинейный интеграл второго рода:


2. Как вычислить общий криволинейный интеграл второго рода

2.1 Пусть кривая L задана уравнением y = y(x). Тогда интеграл можно вычислить по формуле:


Также можно выразить x в уравнении кривой - x = x(y) и использовать похожую формулу:


Пример.
Вычислить криволинейный интеграл

где L - дуга параболы y = x² от точки А (0, 0) до точки B(1, 1).

Запишем уравнение кривой y = y(x) и функции P(x, y), Q(x, y):
y(x) = x²
P(x, y) = x² - 3y
Q(x, y) = x - 2y

Тогда:
y'(x) = 2x
P(x, y(x)) = x² - 3x² = 2x²
Q(x, y(x)) = x - 2x²

Подставим полученные выражения в формулу для вычисления криволинейного интеграла.


2.2 Пусть кривая L задана параметрически, x = x(t), y = y(t), t₁ ≤ t ≤ t₂.

Тогда интеграл можно вычислить по формуле:


Пример.
Вычислить криволинейный интеграл


по линии x = 1 - t, y = 3t от точки А (1, 0) до точки B(0, 3).

Запишем уравнения x = x(t), y = y(t), P(x, y), Q(x, y).
x(t) = 1 - t
y(t) = 3t
P(x, y) = x² - 3y
Q(x, y) = x - 2y

Тогда:
x'(t) = -1
y'(t) = 3
P(x(t), y(t)) = (1 - t)² - 3t = t² - 11t + 1
Q(x(t), y(t)) = 1 - t - 6t = 1 - 7t

Если x = 1, t = 0
Если x = 0, t = 1

Подставим полученные выражения в формулу для вычисления криволинейного интеграла.

Метки: Интегралы; Криволинейные интегралы;