1. Что такое криволинейные интегралы первого и второго рода
Пусть на плоскости XoY расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных z = f(x, y) определена во всех точках этого отрезка.
Разделим кривую на части точками А1 (x1, y1), ... , Аn (xn, yn). В каждой части Аi Аi+1 выберем произвольную точку Mi.
Рассмотрим два вида сумм:
1. Для криволинейного интеграла 1-го рода.
f(M1) • А1 А2 + ... + f(Mn-1) • Аn-1 Аn - значения функции в выбранных точках умножаем на длины отрезков кривой.
2. Для криволинейного интеграла 2-го рода.
f(M1) • x1 x2 + ... + f(Mn-1) • xn-1 xn - значения функции в выбранных точках умножаем на длины проекций на ось (в данном случае - ось x)
Ищем пределы данных сумм, устремляя величину наибольшего отрезка Аi Аi+1 к 0. Если такой предел существует, он и будет значением криволинейного интеграла.
Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB.
Криволинейный интеграл первого рода:
Криволинейный интеграл второго рода:
Часто на практике используют объединение криволинейных интегралов второго рода.
Общий криволинейный интеграл второго рода:
2. Как вычислить общий криволинейный интеграл второго рода
2.1 Пусть кривая L задана уравнением y = y(x). Тогда интеграл можно вычислить по формуле:
Также можно выразить x в уравнении кривой - x = x(y) и использовать похожую формулу:
Пример.
Вычислить криволинейный интеграл
где L - дуга параболы y = x2 от точки А (0, 0) до точки B(1, 1).
Запишем уравнение кривой y = y(x) и функции P(x, y), Q(x, y):
y(x) = x2
P(x, y) = x2 - 3y
Q(x, y) = x - 2y
Тогда:
y'(x) = 2x
P(x, y(x)) = x2 - 3x2 = 2x2
Q(x, y(x)) = x - 2x2
Подставим полученные выражения в формулу для вычисления криволинейного интеграла.
2.2 Пусть кривая L задана параметрически, x = x(t), y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2.
Тогда интеграл можно вычислить по формуле:
Пример.
Вычислить криволинейный интеграл
по линии x = 1 - t, y = 3t от точки А (1, 0) до точки B(0, 3).
Запишем уравнения x = x(t), y = y(t), P(x, y), Q(x, y).
x(t) = 1 - t
y(t) = 3t
P(x, y) = x2 - 3y
Q(x, y) = x - 2y
Тогда:
x'(t) = -1
y'(t) = 3
P(x(t), y(t)) = (1 - t)2 - 3t = t2 - 11t + 1
Q(x(t), y(t)) = 1 - t - 6t = 1 - 7t
Если x = 1, t = 0
Если x = 0, t = 1
Подставим полученные выражения в формулу для вычисления криволинейного интеграла.
Метки: Интегралы; Криволинейные интегралы;