1. Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
То есть, s1 = s2 = s3 = s4 = s5 = s6
Так как медиана – частный случай чевианы (см предыдущие посты),
то для медианы AM1 выполняется равенство:
s1 / s2 = (s5 + s6) / (s4 + s3) = BM1 / CM1 = 1
Значит:
s1 = s2 (1)
s5 + s6 = s4 + s3 (2)
Аналогично для BM2:
s3 = s4 (3)
s1 + s2 = s5 + s6 (4)
Для CM3:
s5 = s6 (5)
Подставляя (3) и (5) в левую и правую часть равенства (2), получаем:
s5 = s3
s6 = s3
s5 = s4
s6 = s4
То есть, s3 = s4 = s5 = s6.
Аналогичное доказательство проводим для площадей s1 и s2.
2. Длину медианы можно вычислить по формуле:
AM12 = (1/4) • (2AB2 + 2AC2 – BC2)
Для доказательства используем теорему Стюарта:
l2 = (a2 • b2 + a1 • c2) / (a1 + a2) – a1 • a2,
где
l = AM1, b = AB, c = AC, a1 = a2 = BC/2.
3. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1:
AO : OM1 = BO : OM2 = CO : OM3 = 2 : 1
Рассмотрим треугольники OBC и OM2M3 (рис 2).
M2M3 - средняя линия.
По свойству средней линии,
M2M3 || BC (6)
BC / M2M3 = 2 (7).
Из (6) следует равенство углов:
∠OBC = ∠OM2M3 (накрест лежащие),
∠OCB = ∠OM3M2,
Значит, ΔOBC ~ ΔOM2M3 по двум углам:
BC / M2M3 = BO / OM2 = CO / OM3 = 2 / 1
Метки: Геометрия; Медиана; Треугольник;