Рассмотрим график функции y = f(x). Функция непрерывна на всей своей области определения. Проведем касательную y = kx + b к графику функции y = f(x) в произвольной точке с абсциссой x0.
k – угловой коэффициент касательной.
b – начальная ордината.
α – угол между касательной и положительным направлением оси х.
Уравнение касательной составляем с использованием формулы:
y = f’(x0) • (x – x0) + f(x0)
Отсюда следует еще одно полезное утверждение:
Значение производной функции f(x) в точке x0 равно угловому коэфициенту касательной, проведенной к графику функции f(x) в точке x0:
k = f’(x0)
Пример
Составим уравнение касательной к графику функции
f(x) = x3 + x2 – x – 1 + cos (πx) в точке x0 = 1.
Для этого сначала найдем производную:
f’(x) = 3x2 + 2x – 1 - π • sin (πx)
А затем - значения производной и функции в точке x0 = 1:
f(1) = -1
f’(1) = 4
Составляем уравнение касательной:
y = f’(x0) • (x – x0) + f(x0)
y = 4 • (x – 1) - 1 = 4x - 5.
Метки: Алгебра; ЕГЭ профильный уровень; Производные;