Главная страница • Статьи

1. Найдем предел в конечной точке
Вычислим предел.


Если подставить 1 вместо x, то и числитель и знаменатель дроби обратятся в 0 и мы получим неопределенность.

Поэтому, для вычисления предела нужно сначала сократить дробь. Для этого нужно разложить ее на множители.

Так как значение x = 1 обращает в ноль многочлены в числителе и знаменателе, то x = 1 является корнем для данных многочленов. А значит, и числитель и знаменатель можно поделить на (x - 1).

Поделим числитель на (x - 1) в столбик.

0

Получаем:


Для того, чтобы разложить на множители знаменатель, применим метод неопределенных коэффициентов. (Можно применять любой из рассматриваемых нами методов).
Представим знаменатель в виде произведения (x - 1) на многочлен 2 степени.


Найдем коэффициенты a, b и c.


Так как данное равенство должно выполняться при любых значениях неизвестного, приравниваем к нулю коэффициенты при степенях x и составляем систему.


Получаем:


Теперь можем сократить дробь и вычислить предел.



2. Предел в бесконечности
Вычислим теперь предел той же функции, но не в конечной точке, а при x, стремящемся к бесконечности.


Если x стремится к бесконечности, то и числитель и знаменатель дрлби также стремятся к бесконечности и мы получаем неопределенность вида ? / ?.

Для того, чтобы вычислить предел, разделим и числитель и знаменатель дроби на старшую степень неизвестного, то есть на x³:


При x, стремящемся к ?, слагаемые

в числителе и знаменателе стремятся к 0, поэтому:



Примеры для самостоятельного решения

Метки: Математический анализ; Пределы;