Главная страница Статьи

Интегрирование иррациональных выражений

Пример 1.
Вычислим интеграл


Сделаем замену:
.
Тогда
.

Получаем:


Представим дробь

в виде суммы более простых дробей.

Разложим знаменатель дроби на множители и применим метод неопределенных коэффициентов.


Так как данное равенство должно выполняться при любых значениях неизвестного, приравниваем к нулю коэффициенты при степенях u и составляем систему.


Таким образом,


Получаем


Пример 2.
Найти интеграл


Сделаем замену:


Выделим в знаменателе полный квадрат:


Пример 3.
Рассмотрим интеграл вида


В данном случае удобно сделать замену вида


Вычислим таким способом интеграл


Делаем замену


Получаем



Подстановки Эйлера
Подстановка Эйлера применяется для интегралов вида


Есть 3 вида подстановок.


Пример 4.
Вычислить интеграл


Применим первую подстановку Эйлера.



Тригонометрическая подстановка
Рассмотрим интегралы вида


Сделаем замену


Получаем:


Аналогично для избавления от иррациональности можно было бы сделать замену
x = a cos z.

Пример 5.
Вычислить интеграл


Сделаем замену


Получаем

Метки: Интегралы; Математический анализ;

Политика конфидециальности

Пользовательское соглашение