Пример 1.
Вычислим интеграл
Сделаем замену:
.
Тогда
.
Получаем:
Представим дробь
в виде суммы более простых дробей.
Разложим знаменатель дроби на множители и применим метод неопределенных коэффициентов.
Так как данное равенство должно выполняться при любых значениях неизвестного, приравниваем к нулю коэффициенты при степенях u и составляем систему.
Таким образом,
Получаем
Пример 2.
Найти интеграл
Сделаем замену:
Выделим в знаменателе полный квадрат:
Пример 3.
Рассмотрим интеграл вида
В данном случае удобно сделать замену вида
Вычислим таким способом интеграл
Делаем замену
Получаем
Подстановки Эйлера
Подстановка Эйлера применяется для интегралов вида
Есть 3 вида подстановок.
Пример 4.
Вычислить интеграл
Применим первую подстановку Эйлера.
Тригонометрическая подстановка
Рассмотрим интегралы вида
Сделаем замену
Получаем:
Аналогично для избавления от иррациональности можно было бы сделать замену
x = a cos z.
Пример 5.
Вычислить интеграл
Сделаем замену
Получаем
Метки: Интегралы; Математический анализ;